Triangle de Pascal

Définition  Triangle de Pascal

Les coefficients du tableau précédent forment le triangle de Pascal, du nom du mathématicien français Blaise Pascal (1623 – 1662).

Remarque

Les coefficients apparaissant dans le tableau représentent les nombres de combinaisons de \(k\) éléments parmi \(n\) , où  \(k\) et \(n\)  sont des entiers naturels tels que \(0\leqslant k\leqslant n\) .
En effet, dans le développement de  \((x+1)^5\) , le coefficient de  \(x^3\)  est déterminé par le choix de \(3\) termes \(x\) parmi les \(5\) facteurs \((x + 1)\) apparaissant dans le produit. Ce coefficient sera donc  \(\displaystyle \binom 53\) , ce qui justifie que ces nombres s'appellent coefficients binomiaux.

Propriétés

• Symétrie
  Pour tout \(k\) tel que  \(0 ⩽ k ⩽ n\) , on a :  \(\displaystyle \boxed{\binom nk = \binom{n}{n-k}}\) .
  
• Relation de Pascal
  Pour tout \(k\) tel que \(0 ⩽ k ⩽ n - 1\) , on a :  \(\displaystyle \boxed{\binom nk = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}}\) .
  

Exemple

Dans le tableau ci-dessous, on a les relations suivantes, mises en évidence en couleur :  \(\displaystyle \binom 30 + \binom 31 = \binom 41\) , \(\displaystyle \binom 53 + \binom 54 = \binom 64\) ,  \(\displaystyle \binom 61 + \binom 62 = \binom 72\) . 

Démonstration  

1. Symétrie
Pour \(k\) et \(n\) entiers naturels tels que  \(0\leqslant k\leqslant n\) , on a  \(\displaystyle \binom{n}{n-k} = \dfrac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!}=\dfrac{n!}{(n-k)!k!}=\binom{n}{k}\) .

2.  Relation de Pascal 

Par dénombrement

Soit \(n\) et \(\) \(k\) tel que \(0 ⩽ k ⩽ n – 1\) .
On considère un ensemble \(E\) fini à  \(n\) éléments.
On cherche à exprimer la relation entre le nombre de parties   de \(E\) à \(k\) éléments et le nombre de parties de \(E\) à \(k - 1\) éléments.

Soit  \(a\)  un élément fixé de \(E\) . On considère les parties de \(E\) à   \(k\)   éléments contenant \(a\) et celles à \(k\) éléments ne le contenant pas. 

• Pour les parties de \(E\) à \(k\) éléments qui contiennent l'élément \(a\) , les \(k - 1\) autres éléments sont choisis parmi les \(n - 1\) éléments autres que \(a\) , donc de  \(\displaystyle \binom{n-1}{k-1}\)  manières.
  
• Pour les parties de \(E\) à \(k\) éléments qui ne contiennent pas l'élément \(a\) , les   \(k\)   éléments sont choisis parmi les   \(n - 1\)   éléments autres que   \(a\) , donc de \(\displaystyle \binom{n-1}{k}\)  manières.
  

Comme ces parties sont disjointes, elles réalisent une partition de \(E\) .
Par le principe additif, on obtient le résultat cherché.

Par le calcul

Soit \(n\) et \(\) \(k\) tels que \(0 ⩽ k ⩽ n - 1\) .
\(\begin{array}[t]{rcl}\displaystyle \binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p} & =& \dfrac{(n-1)!}{(p-1)!(n-1-(p-1))!}+\dfrac{(n-1)!}{p!(n-1-p)!}\\ & = &\dfrac{(n-1)!}{(p-1)!(n-1-p+1)!}+\dfrac{(n-1)!}{p!(n-1-p)!}\\ &=& \dfrac{(n-1)!}{(p-1)!(n-p)!}+\dfrac{(n-1)!}{p!(n-p-1)!}\\ & =& \dfrac{(n-1)!\times p}{(p-1)!(n-p)!\times p}+\dfrac{(n-1)!\times (n-p)}{p!(n-p-1)!\times (n-p)}\\ &=& \dfrac{(n-1)!\times p}{p!(n-p)!}+\dfrac{(n-1)!\times (n-p)}{p!(n-p)!}\\ & =&\dfrac{(n-1)!\times p+(n-1)!\times (n-p)}{p!(n-p)!}\\ &=& \dfrac{(n-1)!\times [ p+(n-p)]}{p!(n-p)!}\\ &=& \dfrac{(n-1)!\times n}{p!(n-p)!}= \dfrac{n!}{p!(n-p)!}= \displaystyle \binom np\\ \end{array}\)